Какая линза дает действительное изображение. Учебник. Тонкие линзы. Тонкая линза

Линзой называется прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями. Если толщина самой линзы мала по сравнению с радиусами кривизны сферических поверхностей, то линзу называют тонкой .

Линзы входят в состав практически всех оптических приборов. Линзы бывают собирающими и рассеивающими . Собирающая линза в середине толще, чем у краев, рассеивающая линза, наоборот, в средней части тоньше (рис. 3.3.1).

Прямая, проходящая через центры кривизны O 1 и O 2 сферических поверхностей, называется главной оптической осью линзы. В случае тонких линз приближенно можно считать, что главная оптическая ось пересекается с линзой в одной точке, которую принято называть оптическим центром линзы O . Луч света проходит через оптический центр линзы, не отклоняясь от первоначального направления. Все прямые, проходящие через оптический центр, называются побочными оптическими осями .

Если на линзу направить пучок лучей, параллельных главной оптической оси, то после прохождения через линзу лучи (или их продолжения) соберутся в одной точке F , которая называется главным фокусом линзы. У тонкой линзы имеются два главных фокуса, расположенных симметрично на главной оптической оси относительно линзы. У собирающих линз фокусы действительные, у рассеивающих – мнимые. Пучки лучей, параллельных одной из побочных оптических осей, после прохождения через линзу также фокусируются в точку F" , которая расположена при пересечении побочной оси с фокальной плоскостью Ф, то есть плоскостью, перпендикулярной главной оптической оси и проходящей через главный фокус (рис. 3.3.2). Расстояние между оптическим центром линзы O и главным фокусом F называется фокусным расстоянием. Оно обозначаетcя той же буквой F .

Основное свойство линз – способность давать изображения предметов . Изображения бывают прямыми и перевернутыми , действительными и мнимыми , увеличенными и уменьшенными .

Положение изображения и его характер можно определить с помощью геометрических построений. Для этого используют свойства некоторых стандартных лучей, ход которых известен. Это лучи, проходящие через оптический центр или один из фокусов линзы, а также лучи, параллельные главной или одной из побочных оптических осей. Примеры таких построений представлены на рис. 3.3.3 и 3.3.4.

Следует обратить внимание на то, что некоторые из стандартных лучей, использованных на рис. 3.3.3 и 3.3.4 для построения изображений, не проходят через линзу. Эти лучи реально не участвуют в образовании изображения, но они могут быть использованы для построений.

Положение изображения и его характер (действительное или мнимое) можно также рассчитать с помощью формулы тонкой линзы . Если расстояние от предмета до линзы обозначить через d , а расстояние от линзы до изображения через f , то формулу тонкой линзы можно записать в виде:

Формула тонкой линзы аналогична формуле сферического зеркала . Ее можно получить для параксиальных лучей из подобия треугольников на рис. 3.3.3 или 3.3.4.

Фокусным расстояниям линз принято приписывать определенные знаки: для собирающей линзы F > 0, для рассеивающей F < 0.

Величины d и f также подчиняются определенному правилу знаков: d > 0 и f > 0 – для действительных предметов (то есть реальных источников света, а не продолжений лучей, сходящихся за линзой) и изображений; d < 0 и f < 0 – для мнимых источников и изображений.

Для случая, изображенного на рис. 3.3.3, имеем: F > 0 (линза собирающая), d = 3F > 0 (действительный предмет).

По формуле тонкой линзы получим: следовательно, изображение действительное.

В случае, изображенном на рис. 3.3.4, F < 0 (линза рассеивающая), d = 2|F | > 0 (действительный предмет), то есть изображение мнимое.

В зависимости от положения предмета по отношению к линзе изменяются линейные размеры изображения. Линейным увеличением линзы Γ называют отношение линейных размеров изображения h" и предмета h . Величине h" , как и в случае сферического зеркала, удобно приписывать знаки плюс или минус в зависимости от того, является изображение прямым или перевернутым. Величина h всегда считается положительной. Поэтому для прямых изображений Γ > 0, для перевернутых Γ < 0. Из подобия треугольников на рис. 3.3.3 и 3.3.4 легко получить формулу для линейного увеличения тонкой линзы:

В рассмотренном примере с собирающей линзой (рис. 3.3.3): d = 3F > 0, следовательно,– изображение перевернутое и уменьшенное в 2 раза.

В примере с рассеивающей линзой (рис. 3.3.4): d = 2|F | > 0, ; следовательно,– изображение прямое и уменьшенное в 3 раза.

Оптическая сила D линзы зависит как от радиусов кривизны R 1 и R 2 ее сферических поверхностей, так и от показателя преломления n материала, из которого изготовлена линза. В курсах оптики доказывается следующая формула:

Радиус кривизны выпуклой поверхности считается положительным, вогнутой – отрицательным. Эта формула используется при изготовлении линз с заданной оптической силой.

Во многих оптических приборах свет последовательно проходит через две или несколько линз. Изображение предмета, даваемое первой линзой, служит предметом (действительным или мнимым) для второй линзы, которая строит второе изображение предмета. Это второе изображение также может быть действительным или мнимым. Расчет оптической системы из двух тонких линз сводится к двукратному применению формулы линзы, при этом расстояние d 2 от первого изображения до второй линзы следует положить равным величине l – f 1 , где l – расстояние между линзами. Рассчитанная по формуле линзы величина f 2 определяет положение второго изображения и его характер (f 2 > 0 – действительное изображение, f 2 < 0 – мнимое). Общее линейное увеличение Γ системы из двух линз равно произведению линейных увеличений обеих линз: Γ = Γ 1 · Γ 2 . Если предмет или его изображение находятся в бесконечности, то линейное увеличение утрачивает смысл.

Частным случаем является телескопический ход лучей в системе из двух линз, когда и предмет, и второе изображение находятся на бесконечно больших расстояниях. Телескопический ход лучей реализуется в зрительных трубах – астрономической трубе Кеплера и земной трубе Галилея (см. § 3.5 ).

Тонкие линзы обладают рядом недостатков, не позволяющих получать высококачественные изображения. Искажения, возникающие при формировании изображения, называются аберрациями . Главные из них – сферическая и хроматическая аберрации. Сферическая аберрация проявляется в том, что в случае широких световых пучков лучи, далекие от оптической оси, пересекают ее не в фокусе. Формула тонкой линзы справедлива только для лучей, близких к оптической оси. Изображение удаленного точечного источника, создаваемое широким пучком лучей, преломленных линзой, оказывается размытым.

Хроматическая аберрация возникает вследствие того, что показатель преломления материала линзы зависит от длины волны света λ. Это свойство прозрачных сред называется дисперсией . Фокусное расстояние линзы оказывается различным для света с разными длинами волн, что приводит к размытию изображения при использовании немонохроматического света.

В современных оптических приборах применяются не тонкие линзы, а сложные многолинзовые системы, в которых удается приближенно устранить различные аберрации.

Формирование собирающей линзой действительного изображения предмета используется во многих оптических приборах, таких как фотоаппарат, проектор и т. д.

Фотоаппарат представляет собой замкнутую светонепроницаемую камеру. Изображение фотографируемых предметов создается на фотопленке системой линз, которая называется объективом . Специальный затвор позволяет открывать объектив на время экспозиции.

Особенностью работы фотоаппарата является то, что на плоской фотопленке должны получаться достаточно резкими изображения предметов, находящихся на разных расстояниях.

В плоскости фотопленки получаются резкими только изображения предметов, находящихся на определенном расстоянии. Наведение на резкость достигается перемещением объектива относительно пленки. Изображения точек, не лежащих в плоскости резкого наведения, получаются размытыми в виде кружков рассеяния. Размер d этих кружков может быть уменьшен путем диафрагмирования объектива, т.е. уменьшения относительного отверстия a / F (рис. 3.3.5). Это приводит к увеличению глубины резкости.

Проекционный аппарат предназначен для получения крупномасштабных изображений. Объектив O проектора фокусирует изображение плоского предмета (диапозитив D ) на удаленном экране Э (рис. 3.3.6). Система линз K , называемая конденсором , предназначена для того, чтобы сконцентрировать свет источника S на диапозитиве. На экране Э создается действительное увеличенное перевернутое изображение. Увеличение проекционного аппарата можно менять, приближая или удаляя экран Э с одновременным изменением расстояния между диапозитивом D и объективом O .

На рисунке показана двояковыпуклая линза с радиусами кривизны R 1 и R 2 . Первый радиус отложен направо, поэтому он положителен, второй отложен от вершины налево – он отрицателен. Показатель преломления материала линзы n 2 , а окружающая ее среда имеет показатель преломления n 1 .

Падающий на линзу луч света будет преломляться на обеих поверхностях. РИСУНОК Можно воспользоваться уже полученными результатами. Пусть источник света лежит слева от передней вершины O 1 на расстоянии s. Если бы второй поверхности не было, то лучи собрались бы в точке s’ справа от O 1 . Причем . Для описания преломления на второй поверхности s’ можно считать «источником», соответственно расстояние от него до вершины второй преломляющей поверхности O 2 будет равно s’-|O 1 O 2 |. Поскольку мы считаем положительным расстояние от источника, если он находится слева, это расстояние берем с минусом. Можно применить ту же самую формулу для второй преломляющей поверхности.

. В дальнейшем мы рассмотрим решение этого уравнения, а сейчас найдем его решение в важном частном случае. Если |O 1 O 2 |<< R 1 ,R 2 тогда толщина линзы |O 1 O 2 | будет во много раз меньше всех расстояний s, s’, s’’. Такую линзу назовем тонкой . Формулы для нее становятся гораздо проще.

Чтобы выразить s’’, нужно просто сложить уравнения

где фокусное расстояние линзы. Напомним, что второй радиус для данной линзы отрицателен, поэтому оба слагаемых в скобках положительны. Полученная формула называется формулой тонкой линзы. Она позволяет вычислить положение изображения s’’ светящейся точки, расположенной на расстоянии s от линзы.

Проведем подробный анализ этой формулы для двояковыпуклой собирающей линзы (R 1 >0,R 2 <0, n 2 >n 1). В этом случае F>0.

Если s→∞ то s’’→F. То есть, если источник удалять далеко налево, то изображение будет приближаться к заднему фокусу. Параллельный пучок лучей собирается этой линзой справа в заднем фокусе.

Если s’’→∞ то s→F. По принципу обратимости хода лучей если изображение s’’ сделать источником, то лучи пойдут таким образом, что соберутся в точке s. Если изображение s’’ удалять далеко направо, то источник s должен приближаться к переднему фокусу, который находится на том же расстоянии от линзы, что и задний . Это означает, что параксиальный пучок лучей, выходящий из переднего фокуса преобразуется линзой в параллельный.

Полученную формулу можно применять для разных типов линз, если правильно выбирать знаки для радиусов кривизны поверхностей линзы.

.

На рисунке изображены четыре типа линз

1) двояковогнутая R 1 <0,R 2 >0

2) выпукло-вогнутая R 1 >0,R 2 >0 (R 1

3) вогнуто-выпуклая R 1 >0,R 2 >0 (R 1 >R 2)

4) двояковыпуклая R 1 >0,R 2 <0.

Если n 2 >n 1 , то у линз 2 и 4 величина F>0. Докажите это сами. Такие линзы называются собирающими . Они в середине толще, чем по краям . Линзы же 1 и 3 имеют F<0. Значит, задний фокус лежит не правее линзы, а левее. Это рассеивающие линзы. Их толщина в середине меньше, чем по краям.

Заметим, что если n 2

Передний и задний фокусы тонкой линзы равны . Величина называется оптической силой линзы . Она может быть как положительной, так и отрицательной. Если фокусное расстояние выражено в метрах, то единица оптической силы называется диоптрия . Если фокусное расстояние линзы +1м, она обладает оптической силой +1 дптр. У собирающей линзы оптическая сила положительна, у рассеивающей линзы– отрицательна.

Собирающая линза собирает пучок, параллельный главной оптической оси в заднем фокусе. Рассеивающая линза преобразует пучок так, что задний фокус находится перед линзой. Как это понимать? Ведь лучи проходят через линзу и обратно не возвращаются. Ответ на этот вопрос виден на рисунке. В фокусе рассеивающей линзы собираются не сами лучи, а их мысленные продолжения, изображенные пунктиром. Такое изображение называетсямнимым . Мы уже сталкивались с мнимым изображением предмета в плоском зеркале. Предмет как бы находится в точке своего изображения, поскольку именно из нее идет расходящийся пучок лучей.

На рисунке показано символическое изображение собирающей и рассеивающей линз на оптических схемах.

Рассмотрим формирование изображения собирающей линзой.

Выразив расстояние можно сообразить, что при s 1 >F s 1 ’>0, поэтому изображение будет действительным (лучи, исходящие из точки s 1 соберутся в точке s 1 ’). Говорят, что изображение действительное, если источник расположен дальше переднего фокуса собирающей линзы.

Если же разместить источник в точке s 2 (ближе переднего фокуса), то s 2 ’<0, то есть, изображение будет мнимым. На чертеже показано, как графически находится изображение светящейся точки, не лежащей на главной оптической оси. Она испускает пучок лучей, собирающихся в точке s’. Ясно, что для ее нахождения достаточно взять два «удобных» нам луча и найти точку их пересечения. Один из лучей пустим параллельно главной оптической оси. Он пройдет через задний фокус. Другой же луч пустим через оптический центр тонкой линзы. Поскольку поверхности линзы в этом месте параллельны, то луч пройдет через линзу как через плоскопараллельную пластинку. Мы знаем, что на ней луч не меняет направления, а лишь немного смещается. Из-за малой толщины линзы в этом месте это смещение также мало. Поэтому луч, проходящий через оптический центр тонкой линзы, не преломляется. Пересечение этих двух лучей и даст изображение s’. Видно, что для положения источника s 2 лучи после линзы не пересекаются. Значит, пересекутся их продолжения, которые дадут мнимое изображение s 2 ’.

Рассмотрим формирование изображения рассеивающей линзой.

Выразив расстояние можно сообразить, что при любом s s’<0, поэтому изображение всегда будет мнимым. На рисунке показано построение этого изображения.

Луч, параллельный оптической оси, отклонится так, что его продолжение пройдет через задний фокус (который находится спереди от линзы). Видно, что для положений источника s 1 и s 2 изображения мнимые. Если луч идет в направлении переднего фокуса (который на самом деле сзади линзы), он преобразуется линзой в параллельный.

Заметим, что формулы для собирающей и рассеивающей линз можно использовать в случае s<0. Это означает, что на линзу падает сходящийся пучок лучей, поэтому «источник» находится справа от линзы. Самостоятельно докажите, что в этом случае для собирающей линзы всегда выполнено s’>0, причем s’0, а может и s’<0.